Question

（2013•安庆三模）如图，倾斜角为θ的直线OP与单位圆在第一象限的部分交于点P，单位圆与坐标轴交于点A（-1，0），点B（0，-1），PA与y轴交于点N，PB与x轴交于点M，设

PO

=x

PM

+y

PN

（x，y∈R）
（1）用角θ表示点M、点N的坐标；
（2）求x+y的最小值．

Answer 1

分析：（1）设P（cosθ，sinθ），N（0，t），

AN

=λ

Ap

（λ为常数）．由向量的坐标运算化简解出t=

sinθ

1+cosθ

，由此即可得到角θ表示点M、点N的坐标的表达式；
（2）由（1）得到向量

PM

、

PN

关于θ的坐标表示式，代入

PO

=x

PM

+y

PN

得到关于θ、x、y的方程组，化简整理可得x+y=

2+sinθ+cosθ

1+sinθ+cosθ

=1+

1

1+ 2 sin(θ+ π 4 )

，由此结合0＜θ＜

π

2

，即可算出x+y的最小值为

2

．

解答：解：（1）设P（cosθ，sinθ），N（0，t）
根据P、N、A共线，设

AN

=λ

Ap

，（λ为常数） …①
又∵A（-1，0），∴

AN

=(1，t)，

AP

=（cosθ+1，sinθ），
代入①，解得t=

sinθ

1+cosθ

，
∴N（0，

sinθ

1+cosθ

），同理可得M（

cosθ

1+sinθ

，0）．…（4分）
（2）由（1）知

PO

=（-cosθ，-sinθ），

PM

=(

cosθ

1+sinθ

-cosθ，-sinθ)=(

-sinθcosθ

1+sinθ

，-sinθ)，

PN

=(-cosθ，

-sinθcosθ

1+cosθ

)，…（6分）
代入

PO

=x

PM

+y

PN

，得：

-cosθ=- sinθcosθ 1+sinθ x+(-cosθ)y -sinθ=(-sinθ)x- sinθcosθ 1+cosθ y

，
整理得：xsinθ+（1+sinθ）y=1+sinθ…②，（1+cosθ）x+ycosθ=1+cosθ…③．
②+③，解得：x+y=

2+sinθ+cosθ

1+sinθ+cosθ

=1+

1

1+sinθ+cosθ

=1+

1

1+ 2 sin(θ+ π 4 )

，…（10分）
由点P在第一象限得0＜θ＜

π

2

，
所以当且仅当θ=

π

4

时，x+y的最小值为

2

．     …（12分）

点评：本题在坐标系的单位圆中给出几何关系式，求用θ表示点M、点N的坐标表示式和x+y的最小值．着重考查了平面向量的坐标运算、在实际问题中建立三角函数模型和三角函数的化简求最值等知识，属于中档题．