Question

已知定义在R上的函数的图象关于原点对称，且x＝1时，f(x)取极小值．

(1)求f(x)的解析式；

(2)当x∈[－1，1]时，图象上是否存在两点，使得此两点处的切线互相垂直？证明你的结论；

(3)(只理科做)若时，求证：．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵函数f(x)的图象关于原点对称，∴f(0)＝0，即4d＝0，∴d＝0．又f(－1)＝－f(1)，即－a－2b－c＝－a＋2b－c，∴b＝0∴，，∵x＝1时，f(x)取极小值，∴3a＋c＝0且 解得，．∴． (2)当x∈[－1，1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立．假设图象上存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直，由f(x)知切线斜率都存在，则由知两点处的切线斜率分别为． ，且．∵， ∴．∴，此与(*)矛盾，故假设不成立． (3)(只理科做)． 令，得x＝±1． ∴x∈(－∞，－1)或x∈(1，＋∞)时，．x∈(－1，1)时． ∴f(x)在[－1，1]上是减函数，且．． ∴在[－1，1]上．于是时， ．