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    省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=|
    x
    x2+1
    -a|+2a+
    2
    3
    ，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，
    1
    2
    ]，若用每天f（x）的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．
    （1）令t=
    x
    x2+1
    ，x∈[0，24]，求t的取值范围；
    （2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？
    分析：（1）当x=0时，求得t=0，当0＜x≤24时，把t=
    x
    x2+1
    的分子分母同时除以x后利用基本不等式求解t的取值范围；
    （2）把函数f（x）的解析式中的
    x
    x2+1
    换为t，去绝对值后得到关于t的分段函数，利用每一段内函数的单调性求出每一段内的最大值，然后根据a的范围写出M（a）的分段函数解析式，再由每一段的表达式小于等于2求解a的取值范围，从而答案可求．
    解答：解：（1）当x=0时，t=0；
    当0＜x≤24时，x+
    1
    x
    ≥2（当x=1时取“=”），
    ∴t=
    x
    x2+1
    =
    1
    x+
    1
    x
    ∈(0，
    1
    2
    ]    ，即t的取值范围是[0，
    1
    2
    ]    ．
    （2）当a∈[0，
    1
    2
    ]    时，记g（t）=|t-a|+2a+
    2
    3
    ，
    则g(t)=
    -t+3a+
    2
    3
    ，0≤t≤a
    t+a+
    2
    3
    ，a＜t≤
    1
    2

    ∵g（t）在[0，a]上单调递减，在（a，
    1
    2
    ]上单调递增，
    且g（0）=3a+
    2
    3
    ，g（
    1
    2
    ）=a+
    7
    6
    ，g（0）-g（
    1
    2
    ）=2(a-
    1
    4
    )    ．
    故M（a）=
    g(
    1
    2
    )，0≤a≤
    1
    4
    g(0)，
    1
    4
    ＜a≤
    1
    2
    =
    a+
    7
    6
    ，0≤a≤
    1
    4
    3a+
    2
    3
    ，
    1
    4
    ＜a≤
    1
    2

    当0≤a≤
    1
    4
    时，由a+
    7
    6
    ≤2    ，解得0≤a≤
    1
    4
    ；
    当
    1
    4
    ＜a≤
    1
    2
    时，由3a+
    2
    3
    ≤2    ，解得
    1
    4
    ＜a≤
    4
    9
    ．
    ∴当且仅当a≤
    4
    9
    时，M（a）≤2．
    故当0≤a≤
    4
    9
    时不超标，当
    4
    9
    ＜a≤
    1
    2
    时超标．
    点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了分段函数最值得求法，体现了分类讨论的数学数学思想方法和数学转化思想方法，考查了计算能力，是中档题．
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    x
    x2+1
    -a|    +2a+
    2
    3
    ，x∈R，其中a是与气象有关的参数，且a∈]，若取每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．
    （1）令t=
    x
    x2+1
    ，x∈R，求t的取值范围；
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    （1）令，，求t的取值范围；

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    （1）令t＝，xÎ[0，24]，求t的取值范围；

    （2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

     

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