Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
（Ⅰ）证明：BE⊥DC；
（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）
∴ =（0，1，1）， =（2，0，0）
∵ =0，
∴BE⊥DC；
（Ⅱ）∵ =（﹣1，2，0）， =（1，0，﹣2），
设平面PBD的法向量 =（x，y，z），
由 ，得 ，
令y=1，则 =（2，1，1），
则直线BE与平面PBD所成角θ满足：
sinθ= = = ，
故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 ．
（Ⅲ）∵ =（1，2，0）， =（﹣2，﹣2，2）， =（2，2，0），
由F点在棱PC上，设 =λ =（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），
故 = + =（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），
由BF⊥AC，得 =2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，
解得λ= ，
即 =（﹣ ， ， ），
设平面FBA的法向量为 =（a，b，c），
由 ，得
令c=1，则 =（0，﹣3，1），
取平面ABP的法向量 =（0，1，0），
则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：
cosα= = = ，
故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：
【解析】（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据 =0，可得BE⊥DC；（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量 的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间角的异面直线所成的角的相关知识，掌握已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．