Question

已知M是直角坐标系xOy中第一象限内的一动点,定点F₁(-5,0)、F₂(5,0).

(1)若|+|=10,求点M的轨迹方程;

(2)若·=5,且点M又在双曲线xy=k(k＞0)上,求k的取值范围.

Answer 1

思路解析:此题主要考查向量模的运算、数量积的求法及字母取值范围的求法.(2)中求k的范围主要应用两曲线相交,组成方程组消去一个未知数后的一元二次方程有解的条件Δ≥0进行求解.

解:(1)设M(x,y),则=(-5-x,-y),=(5-x,-y),

∴+=(-2x,-2y).

∴|+|==10.

∴x²+y²=25(x＞0,y＞0).

(2)∵·=5,

∴(-5-x)(5-x)+(-y)(-y)=5.

∴x²+y²=30.

又∵M在双曲线xy=k上,∴将x=代入x²+y²=30得y⁴-30y²+k²=0.

∵方程有解,

∴Δ=900-4k²≥0.

∴k≤15.

又∵M在第一象限,

∴0＜k≤15.