Question

【题目】已知函数（）.其中常数是自然对数的底数.

（1）若，求在上的极大值点；

（2）（i）证明在上单调递增；

（ii）求关于x的方程在上的实数解的个数.

Answer 1

【答案】（1）极大值点为（2）（i）证明见解析；（ii）实数解的个数为2

【解析】

（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可；

（2）只需证明，问题转化为只需证明，令，，，结合函数的单调性证明即可；

求出，再证明函数的最大值；令函数，，先求函数在上的零点个数，再求函数在上的零点的个数，从而求出方程解的个数．

解：（1）易知，

若，则，所以可得下表：

x
	＋	0	－
	↗	极大值	↘

∴函数在上单调递增，在上单调递减

∴函数的极大值点为.

（2）（i）∵，∴在上必存在唯一实数，使得，

∴易知函数在上单调递增，在上单调递减，

欲证明在上单调递增，只需证明：，

∵，∴，故只需证明，

令，，则，

∴函数在上单调递减，

∴当时，，

∴，即，亦即.

∴函数在上单调递增.

（ii）先证明当时，有，

令，，则，，

∴函数在上单调递增，

∴当时，，即，

再证明函数的最大值，

显然，∴，，

∵，∴，

下证，令，则，

即证（），即证（），

令，则，∴函数为单调递增函数，

∴当时，，∴（），

∴，

令函数，，

先求函数在上的零点个数，

∵，，且函数在上单调递减

∴函数在上有唯一零点，即函数在上的零点个数为1：

再求函数在上的零点个数，

∵，，且函数在上单调递增，

∴①当时，，即，故函数在上没有零点，

即函数在上的零点个数为0；

②当时，，即，故函数在上有唯一零点，

即函数在上的零点个数为1：

综上所述，当时，函数的零点个数为1：

当时，函数的零点个数为2，

∴当时，关于x的方程在上的实数解的个数为1：

当时，关于x的方程在上的实数解的个数为2.