Question

(14分)如图，在直角梯形中，，，，椭圆以、为焦点且经过点．

（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；

（Ⅱ）若点满足,问是否存在直线与椭圆交于两点，且？若存在，求出直线 与夹角的正切值的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解析：（Ⅰ）如图，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系

则，，，                      ………2分

设椭圆方程为

则

解得………………4分

∴所求椭圆方程为                                …………………5分

（Ⅱ）由得点的坐标为

显然直线 与轴平行时满足题意，即                        …………6分

直线 与轴垂直时不满足题意

不妨设直线                                   ……………7分

由     得  ………9分

由   得 ………10分

设，,的中点为

则，            ………11分

∵

∴

∴    即

解得：                                              ………………12分

由   得   且 …………13分

故直线 与夹角的正切值的取值范围是     ……………14分