Question

如图，菱形ABCD中，∠A=60°，把菱形ABCD沿对角线BD折成二面角A-BD-C，AC=BD，空间中的点P满足PA、PB、PC两两垂直，则下列命题中错误的是（　　）

• A．二面角A-BD-C的余弦值为

  1

  3

• B．PC∥平面ABD
• C．PB与CD所成角为45°
• D．PB⊥BD

Answer 1

分析：根据已知可判断出四棱锥A-BCD为正四面体，将四棱锥A-BCD补成一个正方体，建立空间坐标系，利用向量法，逐一判断四个答案的真假，可得答案．

解答：解：∵菱形ABCD中，∠A=60°，把菱形ABCD沿对角线BD折成二面角A-BD-C，AC=BD，
可得四棱锥A-BCD为正四面体
将四棱锥A-BCD补成一个正方体，如下图所示：
设正方体的棱长为1，易得向量

a

=（1，-1，1）为平面ABD的一个法向量；

b

=（-1，1，1）为平面BCD的一个法向量
设二面角A-BD-C的平面角为θ，则cosθ=

| a • b |

| a |•| b |

=

1

3

，故A正确；

PC

=（1，0，0），∵

PC

•

a

=1≠0，故PC的方向与平面ABD的法向量不垂直，故PC∥平面ABD不成立，故B不正确；

PB

=（0，0，-1），

CD

=（0，1，-1），∵cos＜

PB

，

CD

＞=

2

2

，故PB与CD所成角为45°，故C正确；
∵

BD

=（1，1，0），故

PB

•

BD

=0，故PB⊥BD，故D正确；
故选B

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，二面角的平面角及求法，空间线面关系的判定，构造空间坐标系，将线面夹角问题，二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．