Question

如图，已知点F（1，0），直线l: x=-1,P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且?

（I）求动点P的轨迹C的方程;

（II）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M.

（1）已知的值;

（2）求||?||的最小值.

Answer 1

本小题考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.

解法一：（I）设点P（x,y）,则Q（-1，y）,由得：

(x+1,0)?(2,-y)=(x-1,y)?(-2,y),化简得C：y²=4x.

(II)（1）设直线AB的方程为：

x=my+1(m≠0).

设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),又M（-1,-）.

联立方程组,消去x得：

y²-4my-4=0,

△=(-4m)²+12>0,

由得：

，整理得：

,

∴

=

=-2-

=0.

解法二：（I）由

∴?，

∴=0,

∴

所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为：y²=4x.

(II)(1)由已知

则：…………①

过点A、B分别作准l的垂线，垂足分别为A₁、B₁,

则有：…………②

由①②得：

（II）（2）解：由解法一：

?＝（）²|y₁-y_M||y₂-y_M|

                       =(1+m²)|y₁y₂-y_M(y₁+y₂)+y_M²|

                       =(1+m²)|-4+×4m+|
  =

                       =4(2+m²+)  4(2+2)=16.

当且仅当，即m=1时等号成立，所以?最小值为16.