Question

给出下列命题：
①存在实数α，使sinα•cosα=1；
②存在实数α，使sinα+cosα=

3

2

；
③函数y=sin(

3

2

π+x)是偶函数；
④x=

π

8

是函数y=sin(2x+

5

4

π)的一条对称轴方程；
⑤若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ；
其中正确命题的序号是

③④

．

Answer 1

分析：由二倍角的正弦公式结合正弦的最大值为1，可得①不正确；利用辅助角公式，可得sinα+cosα的最大值为

2

，小于

3

2

，故②不正确；用诱导公式进行化简，结合余弦函数是R上的偶函数，得到③正确；根据y=Asin（ωx+∅）图象对称轴的公式，可得④正确；通过举出反例，得到⑤不正确．由此得到正确答案．

解答：解：对于①，因为sinα•cosα=

1

2

sin2α≤

1

2

，故不存在实数α，使sinα•cosα=1，所以①不正确；
对于②，因为sinα+cosα=

2

sin(x+

π

4

)≤

2

，而

3

2

＞

2

，
说明不存在实数α，使sinα+cosα=

3

2

，所以②不正确；
对于③，因为sin(

3

2

π+x)=-cosx，而cosx是偶函数，所以函数y=sin(

3

2

π+x)是偶函数，故③正确；
对于④，当x=

π

8

时，函数y=sin(2x+

5

4

π)的值为sin

3π

2

=-1为最小值，
故x=

π

8

是函数y=sin(2x+

5

4

π)的一条对称轴方程，④正确；
对于⑤，当α=

13π

6

、β=

π

3

时，都是第一象限的角，且α＞β，
但sinα=

1

2

＜

3

2

=sinβ，故⑤不正确．
故答案为：③④

点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了二倍角的正弦公式、三角函数的奇偶性和图象的对称轴等知识，属于中档题．