Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为AB与BB₁的中点，
（Ⅰ）求证：EF⊥平面A₁D₁B；
（Ⅱ）求二面角F-DE-C的正切值。

Answer 1

（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）延长DE、CB交于N，
∵E为AB中点，
∴△DAE≌△NBE，
过B作BM⊥EN交于M，连结FM，
∵FB⊥平面ABCD，
∴FM⊥DN，
∴∠FMB为二面角F-DE-C的平面角，设AB=a，
则BM=，
又BF=，
∴tan∠FMB=，
即二面角F-DE-C大小的正切值为。