Question

（理科）如图所示的几何体底面ABC是直角三角形，∠CAB=90°，AC=4，AB=4，DA，EC，FB均垂直于底面ABC，且CE=3，BF=1，AD=2，点G为棱EF上的一点，且

FG

=λ

FE

（0＜λ≤1）．
（1）求

FG

与

AB

夹角的余弦值；
（2）求

DG

•

GF

的最大值，并指出取得最大值时相应的λ的值．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，由已知可得点的坐标，进而可得

FE

=(-4，4，2)

AB

=(4，0，0)，由坐标运算可得；（2同理可得向量的坐标，可得

DG

•

GF

的表达式，由二次函数区间的最值可得．

解答：解：（1）以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，AD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（4，0，0），C（0，4，0），D（0，0，2）
F（4，0，1），E（0，4，3），
∴

FE

=(-4，4，2)

AB

=(4，0，0)，
∴cos?

FE

，

AB

＞=

FE • AB

| FE || AB |

=

-16

4 36

=-

2

3

，
∴

FG

与

AB

的夹角的余弦值为-

2

3

（7分）
（2）∵

FG

=λ

FE

=(-4λ，4λ，2λ)，0＜λ≤1，
∴

GF

=(4λ，-4λ，-2λ)（9分）
又 

DG

=

DF

+

FG

=(4，0，-1)+(-4λ，4λ，2λ)=(4-4λ，4λ，-1+2λ)（11分）
∴

DG

•

GF

=-16λ2+16λ-16λ2+2λ-4λ2=-36λ2+18λ（0＜λ≤1）（13分）
由二次函数的知识可知：当λ=

1

4

时，

DG

•

GF

的最大值是

9

4

．（14分）

点评：本题考查平面向量数量积与夹角的关系，涉及二次函数的最值，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．