Question

设a＞0，f（x）=

ex

a

+

a

ex

在R上满足f（x）=f（-x）．
（1）求a的值；   
（2）讨论f（x）在[0，+∞）上的单调性．
（3）已知f（x）＞lnm+1在[0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）=f（-x），列出恒等式对一切x∈R成立，即可得到a的值；
（2）由（1）知f（x）的解析式，可以得到f（x）是由u=e^x，和y=u+

1

u

复合而成的复合函数，利用复合函数单调性的判断规则，即可得到f（x）在[0，+∞）上的单调性；
（3）根据（2）的结论，利用f（x）的单调性，求得f（x）的最小值，将f（x）＞lnm+1在[0，+∞）上恒成立，转化为f（x）_min＞lnm+1，求解即可求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）依题意，对一切x∈R，有f（x）=f（-x），
又∵f（x）=

ex

a

+

a

ex

，
∴

ex

a

+

a

ex

=

1

aex

+ae^x对一切x∈R成立，
∴（a-

1

a

）（e^x-

1

ex

）=0对一切x∈R成立，
∴a-

1

a

=0，即a²=1，
又∵a＞0，
∴a=1；
（2）由（1）可知，f(x)=ex+

1

ex

，
令u=e^x，y=u+

1

u

，
∵u=e^x在[0，+∞）上为增函数，而y=u+

1

u

在[1，+∞） 上为增函数，
∴f(x)=ex+

1

ex

在[0，+∞）上为增函数；
（3）∵f(x)=ex+

1

ex

，
∴f（x）＞lnm+1在[0，+∞）上恒成立，即f（x）_min＞lnm+1，
由（2）可知，f(x)=ex+

1

ex

在[0，+∞）上为增函数，
∴f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（0）=2，
∴2＞lnm+1，
∴lnm＜1，
∴0＜m＜e，
故实数m的取值范围为0＜m＜e．

点评：本题考查了函数奇偶性的定义，函数单调性的判断与证明，函数的恒成立问题．对于函数的奇偶性要注意运用定义进行求解参数．注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．本题的单调性的判断运用了复合函数的单调性的判断规则，即“同增异减”．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．本题选用了参变量分离的方法转化成函数求最值问题．属于中档题．