Question

已知：椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为8，且经过点（0，3）
（1）求此椭圆的方程
（2）若已知直线l：4x-5y+40=0，问：椭圆C上是否存在一点，使它到直线l的距离最小？最小距离是多少？

Answer 1

（1）由题意知，2c=8，c=4，
∴b=3，
从而a²=b²+c²=25，
∴方程是

x2

25

+

y 2

9

=1…（4分）
（2）由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交
设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x-5y+k=0（1）
由方程组

4x-5y+k=0 x2 25 + y 2 9 =1

消去y，得25x²+8kx+k²-225=0（2）
令方程（2）的根的判别式△=0，得64k²-4×25（k²-225）=0（3）
解方程（3）得k₁=25或k₂=-25，
∴当k₁=25时，直线m与椭圆交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x-5y+25=0
直线m与直线l间的距离d=

|40-25|

42+52

=

15

41

41

所以，最小距离是

15

41

41

．…（8分）