Question

（2012•淄博一模）如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，异面直线SA和BC所成角的大小是60°．
（I）求证：直线SA∥平面BDE；
（II）求直线BD与平面SBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）连接EO，由题设条件推导出EO是△ASC的中位线，由此能够证明直线SA∥平面BDE．
（II）过点O作CB的平行线作x轴，过O作AB的平行线作y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出直线BD与平面SBC所成角的正弦值．

解答：解：（I）如图，连接EO，
∵四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，O是AC与BD的交点，
∴O是AC的中点，
∵E是侧棱SC的中点，
∴EO是△ASC的中位线，
∴EO∥SA，
∵SA?面ASC，EO不包含于面ASC，
∴直线SA∥平面BDE．
（II）过点O作CB的平行线作x轴，过O作AB的平行线作y轴，以OS为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，
O是AC与BD的交点，SO⊥平面ABCD，E是侧棱SC的中点，
异面直线SA和BC所成角的大小是60°，
∴SA=4，SO=2

2

，
∴B（2，2，0），C（-2，2，0），S（0，0，2

2

），D（-2，-2，0），
∴

SB

=(2，2，-2

2

)，

SC

=(-2，2，-2

2

)，

BD

=(-4，-4，0)，
设面SBC的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

SB

•

n

=0，

SC

•

n

=0，
∴

2x+2y-2 2 z=0 -2x+2y-2 2 z=0

，
∴

n

=(0，

2

，1)，
设直线BD与平面SBC所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

BD

，

n

＞|=|

-4 2

4 2 • 3

|=

3

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．