Question

已知复数z=

(m2-m-2)+(m2+m)i

1+i

（m∈R，i是虚数单位）是纯虚数．
（1）求m的值；
（2）若复数w，满足|w-z|=1，求|w|的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用复数的运算法则把z化为（m²-1）+（m+1）i，再利用纯虚数的定义即可得出m．
（2）利用复数模的计算公式即可得出a²+（b-2）²=1，进而由a²=1-（b-2）²≥0求出b的取值范围，即可得出|w|的最大值．

解答：解：（1）∵复数z=

(m2-m-2)+(m2+m)i

1+i

=

[(m2-m-2)+(m2+m)i](1-i)

(1+i)(1-i)

=

2m2-2+(2m+2)i

2

=（m²-1）+（m+1）i是纯虚数．
∴

m2-1=0 m+1≠0

，解得m=1．
∴m的值是1．
（2）由（1）可知：z=2i．设w=a+bi（a，b∈R）．
∵|w-2i|=1，∴

a2+(b-2)2

=1，∴a²+（b-2）²=1，（*）
∴|w|=

a2+b2

=

1-(b-2)2+b2

=

4b-3

．
由（*）可知：（b-2）²≤1，1≤b≤3.

4b-3

≤

9

=3．
∴|w|的最大值为3．

点评：熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义、复数模的计算公式、圆的标准方程等是解题的关键．