Question

已知向量，，满足，，•．若对每一确定的，的最大值和最小值分别为m，n，则对任意，m-n的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．1

Answer 1

【答案】分析：法一：可以先把向量，，放入平面直角坐标系，则 =（x₁，0），=（ ，y₁），再用 的坐标表示 的坐标，利用•，可转化为含y₁的式子，再看y₁等于多少时，m-n有最小值即可．
法二：我们分别令 ，=，=，根据由已知中，向量，，满足，，•．可判断出A，B，C三点的位置关系，及m-n的几何意义，进而得到答案．
解答：解：法一：把 放入平面直角坐标系，使 起点与坐标原点重合，方向与x轴正方向一致，则 =（1，0）
设 =（x₁，y₁），∵，∴x1=，∴=（ ，y₁）
设 =（x，y），则 =（1-x，-y），=（ -x，y₁-y）
∵（ ）•（ ）=0．∴（1-x）（ -x）-y（y₁-y）=0
化简得，x²+y²-x-y₁y+=0，也即
点（x，y）可表示圆心在（ ，），半径为 的圆上的点，
=，∴最大m=，最小值n=．
∴m-n=-（ ）=
当y₁²=0时，m-n有最小值为 ，
法二：解：∵，
∴令 =则A必在单位圆上，
又∵又向量 满足 ，
∴令 =则点B必在线段OA的中垂线上，
=．
又∵
故C点在以线段AB为直径的圆M上，任取一点C，记 =．
故m-n就是圆M的直径|AB|
显然，当点B在线段OA的中点时，（m-n）取最小值
即（m-n）_min=
故选B．
点评：本题考查的知识点是两向量的和与差的模的最值，及向量加减法的几何意义，其中根据已知条件，判断出A，B，C三点的位置关系，及m-n的几何意义，是解答本题的关键．