Question

2012年，商品价格一度成为社会热点话题，某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，由于政府及时采取有效措施，从而使后60天的价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表

时间	第4天	第32天	第60天	第90天
价格（元）	23	30	22	7

（1）写出价格f（x）关于时间x的函数关系式（x表示投放市场的第x天）；
（2）销售量g（x）与时间x的函数关系：g(x)=-

1

3

x+

109

3

（1≤x≤100，且x∈N），则该产品投放市场第几天销售额最高？最高为多少元？

Answer 1

分析：（1）价格直线上升，直线下降，说明价格函数f（x）是一次函数，由表中对应关系用待定系数法易求f（x）的表达式；
（2）由销售额=销售量×时间，得日销售额函数S（x）的解析式，从而求出S（x）的最大值．

解答：解：（1）由题意知，当1≤x＜40时，一次函数y=ax+b过点A（4，23），B（32，30），代入函数求得a=

1

4

，b=22；
当40≤x≤100时，一次函数y=kx+m过点C（60，22），D（90，7），代入函数求得k=-

1

2

，m=52；
∴函数解析式为：y=f（x）=

1 4 x+22，(1≤x＜40，x∈N) - 1 2 x+52 ，(40≤x≤100，x∈N)

（2）设日销售额为S千元，当1≤x＜40时，S（x）=（

1

4

x+22）•（-

1

3

x+

109

3

）=-

1

12

（x-

21

2

）²+

38809

48

；
∴当x=10或11时，函数有最大值S（x）_max=

9702

12

=808.5（千元）；
当40≤x≤100时，S（x）=（-

1

2

x+52）•（-

1

3

x+

109

3

）=

1

6

（x²-213x+11336）；
∴当x=40时，s（x）_max=736（千元）．
综上所知，日销售额最高是在第10天或第11天，最高值为808.5千元．

点评：本题考查函数模型的构建，考查求分段函数的解析式和最大值的应用题，考查求二次函数在闭区间上的最大值，属于中档题．