Question

（2012•长宁区二模）设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P₁，P₂两点，已知|P₁P₂|=8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设m＞0，过点M（m，0）作方向向量为

d

=(1，

3

)的直线与抛物线C相交于A，B两点，求使∠AFB为钝角时实数m的取值范围；
（3）①对给定的定点M（3，0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？若存在，请求出这条直线；若不存在，请说明理由．
②对M（m，0）（m＞0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？（只要求写出结论，不需用证明）

Answer 1

分析：（1）根据|P₁P₂|=8，可得2p=8，从而可得抛物线C的方程；
（2）直线方程代入y²=8x得一元二次方程，用坐标表示向量，利用∠AFB为钝角，可得

FA

•

FB

＜0，从而可得不等式，由此可求实数m的取值范围；
（3）①设过M所作直线方程为y=k（x-3）代入y²=8x，求出|AB|，设存在直线x=x₀满足条件，则可得(3-x0)2k4+8(3-x0)k2+16=24k4+40k2+16对任意k恒成立，此时直线不存在；②对参数m讨论，可得结论．

解答：解：（1）由条件得2p=8，∴抛物线C的方程为y²=8x；…．（4分）
（2）直线方程为y=

3

(x-m)代入y²=8x得3x²-（6m+8）x+3m²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F（2，0），则

FA

=(x1-2，y1)，

FB

=(x2-2，y2)，
∴x1+x2=

6m+8

3

，x1x2=m2．…．（6分）
∵∠AFB为钝角，∴

FA

•

FB

＜0，∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂＜0，
即x1x2-2(x1+x2)+4+3[x1x2-m(x1+x2)+m2]＜0，
∴4x1x2-(2+3m)(x1+x2)+4+3m2＜0，…．（8分）
因此3m²-36m-4＜0，∴

18-4 21

3

＜m＜

18+4 21

3

，
又由m＞0，则综上可得m∈(0，2)∪(2，

18+4 21

3

)．…．（10分）
（3）①设过M所作直线方程为y=k（x-3）代入y²=8x得ky²-8y-24k=0，…．（11分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2=

8

k

，y1y2=-24，
∴

y1+y2

2

=

4

k

，

x1+x2

2

=

4

k2

+3，∴AB中点(

4

k2

+3，

4

k

)，…．（12分）
∴|AB|=

1+ 1 k2

|y1-y2|=

4 1+k2 • 4+6k2

k2

．…．（13分）
设存在直线x=x₀满足条件，则|

4

k2

+3-x0|=

2 1+k2 • 4+6k2

k2

，…．（14分）
∴(3-x0)2k4+8(3-x0)k2+16=24k4+40k2+16对任意k恒成立，
∴

(3-x0)2=24 8(3-x0)=40

无解，∴这样的直线不存在．  …．（16分）
②当m=2时，存在直线x=-2满足条件；…．（17分）
当m≠2且m＞0时，直线不存在．      …．（18分）

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．