Question

在平面直角坐标系中，已知向量

OF

=(c，0)(c为常数，且c＞0)，

OG

=(x，x)(x∈R)，|

FG

|的最小值为1，

OE

=(

a2

C

，t）（a为常数，且a＞c，t∈R）．动点P同时满足下列三个条件：
（1）|

PF

|=

c

a

|

PE

|；(2)

PE

=λ•

OF

(λ∈R，且λ≠0)；
（2）动点P的轨迹C经过点B（0，-1）．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）是否存在方向向量为m=（1，k）（k≠0）的直线l，l与曲线C相交于M、N两点，使|

BM

|=|

BN

|，且

BM

与

BN

的夹角为60°？若存在，求出k值，并写出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）将|

FG

|的长度用G的坐标表示成关于x的二次函数，通过求二次函数的最小值求出c的值．利用已知条件及唾液的第二定义判断出曲线C为椭圆，写出椭圆的方程．
（II）将直线方程与椭圆方程联立，消去y得到关于x的二次方程，利用韦达定理，将转化为B在MN的中垂线上得到
m=

1+3k2

2

，根据已知得到△BMN为等边三角形，得到点B到直线MN的距离d与|MN|的关系，利用点到直线的距离公式及弦长公式求出d与|MN|，列出方程求出k的值．

解答：解（1）∵|

FG

|=

(x-c)2+x2

=

2(x- c 2 )2+ c2 2

≥

2

2

c，
∴

2

2

a=1，即c=

2

由

OE

=(

a2

c

，t)(t∈R)，可知点E在直线x=

a2

c

上．
由（1）、（2）可知点P到直线x=

a2

c

距离与到点F的距离之比为

a

c

(a＞c＞0)，再由椭圆的第二定义可知，点P的轨迹是椭圆，
椭圆C的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1，其中b2=a2-c2．
由（3）可知b=1，
∴a²=b²+c²=1+2=3．
∴椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1．
（2）设直线l的方程为：y=kx+m，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）

y=kx+m x2+3y2=3

，消去y，得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0．
x₁+x₂=

6km

1+3k2

；x1x2=

3m2-3

1+3k2

△=36k²m²-12（m²-1）（1+3k²）=12[3k²-m²+1]＞0    ①
线段MN的中点G（x₀，y₀），
x₀=

x1+x2

2

=-

3km

1+3k2

；y0=kx0+m=-

3k2m

1+3k2

+m=

m

1+3k2

，
线段MN的垂直平分线的方程为：y-

m

1+3k2

=-

1

k

(x+

3km

1+3k2

)
∵|

BM

|=|

BN

|，
∴线段MN的垂直平分线过B（0，-1）点，
∴-1-

m

1+3k2

=-

1

k

•

3km

1+3k2

=-

3m

1+3k2

，
∴m=

1+3k2

2

②
②代入①，得3k²-（

1+3k2

2

)2+1＞0，解得-1＜k＜1，且k≠0．③
∵|

BM

|=|

BN

|，且

BM

与

BN

的夹角为60°，
∴△BMN为等边三角形，
∴点B到直线MN的距离d=

3

2

|MN|，而d=

|1+m|

1+k2

=

|1+ 1+3k2 2 |

1+k2

=

3

2

1+k2

|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)-4x1x2

1+k2

•

(- 6km 1+3k2 )2-4• 3m2-3 1+3k2

=

1+k2

1+3k2

12(3k2-m2+1

)
=

1+k2

1+3k2

12(3k2-( 1+3k2 2 )2+1)

=3

1+k2

1+3k2

1-k2

∴

3

2

1+k2

=

3 3

2

•

1+k2

1+3k2

1-k2

，
解得k²=

1

3

，即k=±

3

3

，满足③式．代入②，得m=

1+3k2

2

=

1+1

2

=1．
直线l的方程为：y=±

3

3

x+1

点评：解决直线与圆锥曲线的相交的有关问题，一般的思路是将直线与圆锥曲线方程联立，得到关于应该未知数的方程，利用韦达定理来解决．