Question

如图，Rt△ABC中，点P，Q同时从A点出发，分别沿A→C→B→A，A→B→C→A运动，相遇时运动停止．已知AB=12，BC=5，Q运动的速度是P的两倍，则

AP

•

AQ

的最大值是（　　）

• A．

  221

  2

• B．100
• C．169
• D．

  225

  2

Answer 1

分析：分析得出相遇时P经过的路程为10，P保持在线段AC上，而Q则经AB，BC，到达AC的相遇处，设Q经过的路程为x，用x表示相关向量的模，利用向量数量积的定义及运算法则考察计算，得出结果．

解答：解：AB=12，BC=5，AC=13，Rt△ABC周长为30，相遇时P经过的路程为10，P保持在线段AC上．
设Q经过的路程为x，
当P在线段AB上时，即0≤x≤12时，显然

AP

•

AQ

逐渐增大，
当P在线段BC上时，即12＜x＜17时，

AP

•

AQ

=

AP

•(

AB

+

BQ)

=

AP

•

AB

+

AP

•

BQ

，也会随P运动而增大．
当P与C重合时，即x=17时，

|AP|

=

12+5

2

=

17

2

，

|AQ|

=

|AC|

=13时

AP

•

AQ

=13×

17

2

×cos0=

221

2

当P在线段AC上时，

|AP|

=

x

2

，

|AQ|

=13-(x-17)=30-x，

AP

•

AQ

=

x(30-x)

2

在（17，20）上单调递减．
综上所述，当P与C重合时，

AP

•

AQ

的最大值是

221

2

故选A

点评：本题考查向量数量积的定义及数量积的运算法则，函数思想，分类讨论的思想和意识．