Question

已知函数f（x）=

2

3

x+

1

2

，h（x）=

x

．
（Ⅰ）设函数F（x）=f（x）-h（x），求F（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程㏒₄[

3

2

f（x-1）-

3

4

]=log₂h（a-x）-log₂h（4-x）；
（Ⅲ）试比较f（100）h（100）-

100

k=1

h(k)与

1

6

的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求导函数，利用导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．即可求F（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）先把原等式转化为关于a和x之间的等量关系，最后利用图象来求x的值（注意对a的讨论）．
（Ⅲ）把f（100）h（100）-

1

6

转化为一新数列 {a_n}的前100项和，再比较新数列 {a_n}的每一项和对应h（x）=

x

之间的大小关系，即可比较f（100）h（100）-

100

k=1

h(k)与

1

6

的大小．

解答：解：（Ⅰ）由F（x）=f（x）-h（x）=

2

3

x+

1

2

-

x

（x≥0）知，
F'（x）=

4 x -3

6 x

，令F'（x）=0，得x=

9

16

．
当x∈（0，

9

16

）时，F'（x）＜0；当x∈（

9

16

，=∞）时，F'（x）＞0．
故x∈（0，

9

16

）时，F（x）是减函数；
故F（x）x∈（

9

16

，+∞）时，F（x）是增函数．
F（x）在x=

9

16

处有极小值且F（

9

16

）=

1

8

．

（Ⅱ）原方程可化为log₄（x-1）+log₂ h（4-x）=log₂h（a-x），
即

1

2

log₂（x-1）+log₂

4-x

=log₂

a-x

，?

x-1＞0 4-x＞0 a-x＞0 (x-1)(4-x)=a-x

?

1＜x＜4 x＜a a=-(x-3)2+5

①当1＜a≤4时，原方程有一解x=3-

5-a

；
②当4＜a＜5时，原方程有两解x=3±

5-a

；
③当a=5时，原方程有一解x=3；
④当a≤1或a＞5时，原方程无解．
 （Ⅲ）设数列 {a_n}的前n项和为s_n，且s_n=f（n）g（n）-

1

6

从而有a₁=s₁=1．
当2＜k≤100时，a_k=s_k-s_k-1=

4k+3

6

k

-

4k-1

6

k-1

，a_k-

k

=

1

6

[（4k-3）

k

-（4k-1）

k-1

]=

1

6

(4k-3) 2 k-(4k-1)2 (k-1)

(4k-3) k +(4k-1) k-1

=

1

6

1

(4k-3) k +(4k-1) k-1

＞0．
即对任意的2＜k≤100，都有a_k＞

k

．
又因为a₁=s₁=1，
所以a₁+a₂+a₃+…+a₁₀₀＞

1

+

2

+

3

+…+

100

=h（1）+h（2）+…+h（100）
故f（100）h（100）-

100

k=1

h(k)＞

1

6

点评：题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系以及函数极值的求法和函数与数列的综合应用问题．在解题过程中，用到了分类讨论思想和数形结合思想，是一道综合性很强的好题．