Question

将y=sin(2x+

π

3

)的图象向右平移

π

6

个单位长度后，再使平移后的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y=f（x）的图象，将方程xf（x）=1的所有正根按从小到大排成一个数列{a_n}，在以下结论中：
①a_2k+2-a_2k＞2π（k∈N^*）；      ②

lim

n→∞

(an+1-an)=π；
③a_2k-1+a_2k＞（4k-3）π（k∈N^*）； ④a_2k+a_2k+1＞（4k-1）π（k∈N^*）
正确结论的个数有（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：项根据的三角函数的图象变换求出f（x）的解析式，然后将方程xf（x）=1的所有正根转化成y=f（x）与y=

1

x

的图象在第一象限的交点横坐标，然后画出两函数的图形，结合图形可判定选项的真假．

解答：解：将y=sin(2x+

π

3

)的图象向右平移

π

6

个单位长度后，
得到图象的解析式为y=sin[2(x-

π

6

)+

π

3

]=sin2x，
再使平移后的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y=f（x）=sinx，
方程xf（x）=1的所有正根即为y=f（x）与y=

1

x

的图象在第一象限的交点横坐标
画出图形如下图

观察图形可知
①a_2k+2-a_2k＞2π（k∈N^*）正确；     ②

lim

n→∞

(an+1-an)=π，正确；
③a_2k-1+a_2k＞（4k-3）π（k∈N^*）正确； ④a_2k+a_2k+1＞（4k-1）π（k∈N^*），当k=1时，不成立
故选C．

点评：本题主要考查了函数与方程，以及数列与函数的综合，同时考查了数形结合的思想，属于中档题．