Question

在直角坐标系xOy中，点M(2，-

1

2

)，点F为抛物线C：y=mx²（m＞0）的焦点，线段MF恰被抛物线C平分．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）过点M作直线l交抛物线C于A，B两点，设直线FA、FM、FB的斜率分别为k₁、k₂、k₃，问k₁，k₂，k₃能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l的方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定焦点F的坐标、线段MF的中点坐标，代入抛物线方程，即可求m的值；
（Ⅱ）设出l方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，及k₁，k₂，k₃能成公差不为零的等差数列，可得方程，即可求得直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）焦点F的坐标为(0，

1

4m

)，线段MF的中点N(1，

1

8m

-

1

4

)在抛物线C上，
∴

1

8m

-

1

4

=m，∴8m²+2m-1=0，∴m=

1

4

（m=-

1

2

舍）．  …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：抛物线C：x²=4y，F（0，1）．
设l方程为：y+

1

2

=k(x-2)，A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则由

y+ 1 2 =k(x-2) x2=4y

得：x²-4kx+8k+2=0，△=16k²-4（8k+2）＞0，
解得k＜

2- 6

2

或k＞

2+ 6

2

． 
由韦达定理可得，

x1+x2=4k x1x2=8k+2

，…（8分）
假设k₁，k₂，k₃能成公差不为零的等差数列，则k₁+k₃=2k₂．
而k1+k3=

y1-1

x1

+

y2-1

x2

=

x2y1+x1y2-x2-x1

x1x2

=

x2x12 4 + x1x22 4 -x2-x1

x1x2

=

( x1x2 4 -1)(x1+x2)

x1x2

=

( 8k+2 4 -1)•4k

8k+2

=

4k2-k

4k+1

，…（11分）
∵k2=-

3

4

，∴

4k2-k

4k+1

=-

3

2

，8k²+10k+3=0，解得：k=-

1

2

＜

2- 6

2

（符合题意），k=-

3

4

（此时直线l经过焦点F，k₁=k₂=k₃，不合题意，舍去），…（14分）
直线l的方程为y+

1

2

=-

1

2

(x-2)，即x+2y-1=0．
故k₁，k₂，k₃能成公差不为零的等差数列，直线l的方程为：x+2y-1=0． …（15分）

点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．