Question

设函数f(x)=log_a(x－3a)(a>0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图像上的点时，点Q(x－2a,－y)是函数y=g(x)图像上的点.

(1)写出函数y=g(x)的解析式；

(2)若当x∈［a+2,a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1,试确定a的取值范围.

Answer 1

(1) g(x)=log_a (2) a的取值范围是0＜a≤

解析:

(1)设点Q的坐标为(x′,y′),

则x′=x－2a,y′=－y. 即x=x′+2a,y=－y′.

∵点P(x,y)在函数y=log_a(x－3a)的图像上，

∴－y′=log_a(x′+2a－3a),即y′=log_a,∴g(x)=log_a. 

(2)由题意得x－3a=(a+2)－3a=－2a+2>0;=>0,

又a>0且a≠1,∴0＜a＜1,                                            

∵|f(x)－g(x)|=|log_a(x－3a)－log_a|

=|log_a(x²－4ax+3a²)|·|f(x)－g(x)|≤1,

∴－1≤log_a(x²－4ax+3a²)≤1,

∵0＜a＜1,∴a+2>2a  f(x)=x²－4ax+3a²在［a+2,a+3］上为减函数，

∴μ(x)=log_a(x²－4ax+3a²)在［a+2,a+3］上为减函数，

从而［μ(x)］_max=μ(a+2)=log_a(4－4a),［μ(x)］_min=μ(a+3)=log_a(9－6a),于是所求问题转化为求不等式组的解. 

由log_a(9－6a)≥－1解得0＜a≤,

由log_a(4－4a)≤1解得0＜a≤,

∴所求a的取值范围是0＜a≤.