Question

设f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取得极小值，则

b-3

a+2

的取值范围为

（-∞，-3）∪（2，+∞）

．

Answer 1

分析：据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．

解答：解：∵f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+2bx+c，
∴f′（x）=x²+ax+2b，
∵函数f（x）在区间（0，1]内取得极大值，在区间（1，2]内取得极小值
∴f′（x）=x²+ax+2b=0在（0，1]和（1，2]内各有一个根，
f′（0）＞0，f′（1）≤0，f′（2）≥0
即

b＞0 a+2b+1≤0 a+b+2≥0

，
在aOb坐标系中画出其表示的区域，如图，

b-3

a+2

表示点A（-2，3）与可行域内的点B连线的斜率，
∵M（-1，0），∴k_AM=-3，
∵N（-3，1），∴k_AN=2，
结合图象知

b-3

a+2

的取值范围是（-∞，-3）∪（2，+∞）．
故答案为：（-∞，-3）∪（2，+∞）．

点评：本题考查学生利用导数研究函数极值的能力，综合性强，难度大，对数学思维能力要求较高，要求学生会进行简单的线性规划的能力．