Question

（2009•淮安模拟）如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点，试用空间向量知识解下列问题：
（1）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁D-B的余弦值大小．

Answer 1

分析：取BC中点O，连AO，利用正三角形三线合一，及面面垂直的性质可得AO⊥平面BCB₁C₁，取B₁C₁中点为O₁，以O为原点，

OB

，

OO1

，

OA

的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
（1）求出AB₁的方向向量

AB1

，

BD

，

BA1

利用向量垂直的充要条件及线面垂直的判定定理可得AB₁⊥平面A₁BD；
（2）分别求出平面A₁AD的法向量和平面A₁AD的一个法向量代入向量夹角公式，可得二面角A-A₁D-B的余弦值大小．

解答：证明：（1）取BC中点O，连AO，
∵△ABC为正三角形，
∴AO⊥BC
又∵平面ABC⊥平面BCB₁C₁，平面ABC∩平面BCB₁C₁=BC，AO?平面ABC
∴AO⊥平面BCB₁C₁，…（2分）
取B₁C₁中点为O₁，
以O为原点，

OB

，

OO1

，

OA

的方向为x，y，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），D(-1，1，0)，A1(0，2，

3

)，A(0，0，

3

)，B1(1，2，0)…（4分）
∴

AB1

=(1，2，-

3

)，

BD

=(-2，1，0)，

BA1

=(-1，2，

3

)，
∵

AB1

•

BD

=-2+2+0=0，

AB1

•

BA1

=-1+4-3=0，
∴

AB1

⊥

BD

，

AB1

⊥

BA1

，
∴AB₁⊥平面A₁BD．…（6分）
（2）设平面A₁AD的法向量为

n

=(x，y，z)，
由

AD

=(-1，1，-

3

)，

AA1

=(0，2，0)．

n

⊥

AD

，

n

⊥

AA1

，
∴

n • AD =0 n • AA1 =0

，
∴

-x+y- 3 z=0 2y=0

，
解得

y=0 x=- 3 z

，
令z=1，得

n

=(-

3

，0，1)为平面A₁AD的一个法向量，…（8分）
由（1）知AB₁⊥平面A₁BD，
∴

AB1

为平面A₁AD的法向量，
cos＜

n

，

AB1

＞=

n • AB1

| n || AB1 |

=

- 3 - 3

2×2 2

=-

6

4

，
∴二面角A-A₁D-B的余弦值大小为cosθ=

6

4

．…（10分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，建立空间坐标系，将空间线线垂直转化为向量垂直，将空间二面角转化为向量夹角是解答的关键．