Question

7、（山东卷文3）函数f（x）=log₂（3^x+1）的值域为（　　）

A、（0，+∞）

B、[0，+∞）

C、（1，+∞）

D、[1，+∞）

Answer 1

分析：函数的定义域为R，结合指数函数性质可知3^x＞0恒成立，则真数3^x+1＞1恒成立，再结合对数函数性质即可求得本题值域．

解答：解：根据对数函数的定义可知，真数3^x+1＞0恒成立，解得x∈R．
因此，该函数的定义域为R，
原函数f（x）=log₂（3^x+1）是由对数函数y=log₂t和t=3^x+1复合的复合函数．
由复合函数的单调性定义（同増异减）知道，原函数在定义域R上是单调递增的．
根据指数函数的性质可知，3^x＞0，所以，3^x+1＞1，
所以f（x）=log₂（3^x+1）＞log₂1=0，
故选A．

点评：本题考查了对数复合函数的单调性，复合函数的单调性知识点，高中要求不高，只需同学们掌握好“同増异减“原则即可；本题还考查了同学们对指数函数性质（如：3^x＞0）的掌握，这是指数函数求定义域和值域时常用知识．