提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度
（单位：千米/小时）是车流密度
（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当
时，车流速度是车流密度的一次函数．
（Ⅰ）当
时，求函数
的表达式；
（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）
可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）.
（Ⅰ）
；（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
解析试题分析：（Ⅰ）根据题意, ：当
时，
,当时，是一次函数, 可设为
，将
与
代入求出
即可；（Ⅱ）分段函数最值分段求, 当时，
为增函数，故当
时，其最大值为
,当时，是二次函数,利用二次函数性质,求出最大值,然后比较,谁最大为谁.
试题解析：（Ⅰ）由题意：当时，；当时，设，显然在
是减函数，由已知得
，解得
,故函数的表达式为
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
,当时，为增函数，故当时，其最大值为；当时，
，当且仅当
，即
时，等号成立．所以，当时，在区间上取得最大值
．
综上，当时，在区间
上取得最大值
，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
考点：1、求函数解析式, 2、求二次函数最大值.
科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
图象上一点
处的切线方程为
.
（1）求
的值；
（2）若方程
在
内有两个不等实根，求
的取值范围（其中
为自然对数的底数）；（3）令
，若
的图象与
轴交于
（其中
），
的中点为
，求证：在
处的导数
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，在半径为
、圆心角为
的扇形的弧上任取一点
，作扇形的内接矩形
，使点
在
上，点
在
上，设矩形的面积为
，
（Ⅰ）按下列要求求出函数关系式：
①设
，将表示成
的函数关系式；
②设
，将表示成
的函数关系式；
（Ⅱ）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出的最大值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
（本小题满分13分）某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求，使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①
；②
；③
．（以上三式中
均为常数，且
）
（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)
（2）若
，
，求出所选函数
的解析式（注：函数定义域是
．其中
表示8月1日，
表示9月1日，…，以此类推）；
（3）在（2）的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产
千件，需另投入成本为
，当年产量不足80千件时，
（万元）.当年产量不小于80千件时，
（万元）.每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.
（Ⅰ）写出年利润
（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
和点
，过点
作曲线
的两条切线
、
，切点分别为
、
．
（Ⅰ）设
，试求函数
的表达式；
（Ⅱ）是否存在
，使得、与
三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数
，在区间
内总存在
个实数
，
，使得不等式
成立，求
的最大值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
对于在区间 [ m，n ] 上有意义的两个函数
与
，如果对任意
，均有，则称与在 [ m，n ] 上是友好的，否则称与在 [ m，n ]是不友好的．现有两个函数
与
（a > 0且
），给定区间
．
（1）若
与
在给定区间上都有意义，求a的取值范围；
（2）讨论与在给定区间上是否友好．
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是常数
且
）在区间
上有
的值；
当
时，求
的取值范围；
在一个周期内的部分对应值如下表：
的解析式；
，
，求
的最大值和最小值．