Question

已知：双曲线x²-2y²=2的左、右焦点分别为F₁、F₂，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4．
（1）求：动点P的轨迹E的方程；
（2）若M是曲线E上的一个动点，求|MF₂|的最小值．并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4，可得P点的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，从而可得动点P的轨迹E的方程；
（2）求出|MF₂|，利用配方法，可求|MF₂|的最小值．

解答：解：（1）由题意，F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，且|PF1|+|PF2|=4＞2

3

，
∴P点的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，且a=2，c=

3

，
∴b=

a2-c2

=1，
∴

x2

4

+y2=1；
（2）设M(x，y)，|MF2|=

(x- 3 )2+y2

．
∵

x2

4

+y2=1，∴y2=1-

x2

4

，
∴|MF2|=

3 4 x2-2 3  x+4

=

( 3 2 x-2)2

=|

3

2

x-2|，
∵M∈E，∴x∈[-2，2]，
∴|MF2|=2-

3

2

xx∈[-2，2]．    
显然|MF₂|在[-2，2]上为减函数，
∴|MF₂|有最小值2-

3

．

点评：本题考查椭圆的方程，考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，正确求出椭圆的方程是关键．