Question

【题目】如图1，在中，分别是边上的中点，将沿折起到的位置，使如图2．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由已知可得，，可证平面，进而有平面，即可证明结论；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面平面，在正中过作，垂足为，则有平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，确定坐标，求出平面法向量坐标，按照空间向量线面角公式，即可求解.

（Ⅰ）在图1中，分别为边中点，

所以，又因为所以

在图2中，且，

则平面，又因为，所以平面

又因为平面，所以平面平面

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面,且平面

所以平面平面，又因为平面平面

在正中过作，垂足为，则为中点，

且平面，分别以，梯形中位线，

所在直线为轴，轴，轴建立如图坐标系，

则．

．

设平面的法向量为，

则，

令，则，

平面的一个法向量为．

设直线与平面所成角为，

则．

所以直线与平面所成角的正弦值为．