Question

【题目】如图1，等边△ABC中，AC＝4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB于点E，沿DE将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示．

（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；

（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值，并求出这个定值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D在靠近点A的三等分点处；

（2）求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能证明无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．

解：（1）在图2中，取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，

以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设OA＝x，则OF＝2x，OE，

∴B（2，2x，0），E（，0，0），

A（0，0，x），C（﹣2，2x，0），

（﹣2，2x，﹣x），

（2，x﹣2，0），

∵异面直线BE与AC垂直，

∴8＝0，

解得x（舍）或x，

∴，

∴图1中点D在靠近点A的三等分点处．

证明：（2）平面ADE的法向量（0，1，0），

（，0，﹣x），（2，x﹣2，0），

设平面ABE的法向量（a，b，c），

则，取a＝1，得（1，，），

设二面角D﹣AE﹣B的平面角为θ，

则cosθ，

∴无论点D的位置如何，二面角D﹣AE﹣B的余弦值都为定值．