Question

如图，已知点B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴位于x轴下方的端点，过B作斜率为1的直线交椭圆于点M，点P在y轴上，且PM∥x轴，

BP

•

BM

=9，若点P的坐标为（0，t），则t的取值范围是（　　）

• A．0＜t＜3
• B．0＜t≤3
• C．0＜t＜

  3

  2

• D．0＜t≤

  3

  2

Answer 1

分析：由题意可得直线MB的方程为y=x-b，联立直线与椭圆方程可求M，由PM∥x轴可求P，结合已知及向量的数量积的定义，|

.

BP

||

.

BM

|cos45°=9可得|

.

BP

|=3，从而可得t=3-b=

b(a2-b2)

b2+a2

，整理可得a2=

3b2

2b-3

，由t=3-b＜b，a＞b可求t的范围

解答：解：由题意可得B（0，-b）
∴直线MB的方程为y=x-b
联立方程

y=x-b x2 a2 + y2 b2 =1

 可得（a²+b²）x²-2ba²x=0
∴M（

2ba2

a2+b2

，

b(a2-b2)

a2+b2

），
∵PM∥x轴
∴P（0，

b(a2-b2)

a2+b2

）
∴

.

BP

=（0，

b(a2-b2)

a2+b2

+b），

.

BM

=（

2ba2

a2+b2

，

b(a2-b2)

a2+b2

+b）
∵

BP

•

BM

=9，
由向量的数量积的定义可知，|

.

BP

||

.

BM

|cos45°=9
即|

.

BP

|=3
∵P（0，t），B（0，-b）
∴t=3-b=

b(a2-b2)

b2+a2

∴2a²b=3a²+3b²即a2=

3b2

2b-3

∵t=3-b＜b
∴b＞

3

2

，t＜

3

2

由a＞b得a2=

3b2

2b-3

＞b²
∴b＜3
∴t＞0
综上所述0＜t＜

3

2

故选C

点评：本题主要考查了直线与椭圆的相交关系的应用，向量的基本运算的应用及一定的逻辑推理与运算的能力．