Question

一个四棱锥P-ABCD的三视图如图所示．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若E为CD中点，求证面PBD垂直于面PAE．

Answer 1

分析：（1）三视图复原几何体，是一条侧棱垂直底面直角梯形的时边的直角顶点，结合三视图的数据，直接求出几何体的体积．
（2）E为CD中点，如图，连接AE，BD，证明BD⊥平面PAE中的两条相交直线：PA，AE，即可证明面PBD垂直于面PAE．

解答：解：（1）三视图复原几何体，是一条侧棱垂直底面直角梯形的时边的直角顶点，
四棱锥的高为：2，底面直角梯形的底边为：4，高为：2，上底边长为：2，
所以四棱锥的体积为：

1

3

×

(4+2)

2

× 2×2=4．
（2）连接AE，BD，ABED是正方形，
所以BD⊥AE，PA⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴BD⊥PA，PA∩AE=A，BD⊥平面PAE，
∵BD?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAE．

点评：本题考查三视图的复原，几何体的体积的求法，平面与平面垂直的证明，考查同学的空间想象能力，视图能力，计算能力，常考题型．