Question

如图，棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、CD的中点，O是点A在平面BCD内的射影.

（Ⅰ）求直线EF与直线BC所成角的大小；

（Ⅱ）求点O到平面ACD的距离；

（Ⅲ）求二面角A―BE―F的大小.

Answer 1

方法一：（Ⅰ）因为E、F分别是棱AD、CD的中点，

所以EF∥AC.

所以∠BCA是EF与BC所成角.

∵正四面体ABCD，∴△ABC为正三角形，

所以∠BCA = 60°.即EF与BC所成角的大小是60°

（Ⅱ）解法1：

        

如图，连结AO，AF，

因为F是CD的中点，且△ACD，△BCD均为正三角形，

所以BF⊥CD，AF⊥CD.

因为BF∩AF = F，所以CD⊥面AFB.

因为CD在ACD，所以面AFB⊥面ACD.

因为ABCD是正四面体，且O是点A在面BCD内的射影，

所以点O必在正三角形BCD的中线BF上，

在面ABF中，过O做OG⊥AF，垂足为G，

所以OG⊥在ACD.即OG的长为点O到面ACD的距离.

因为正四面体ABCD的棱长为1,

在△ABF中,容易求出AF = BF=，OF=，AO = ，

因为△AOF∽△OGF，故由相似比易求出OG =

所以点O到平面ACD的距离是

解法2：

如图，连结AO，CO，DO，

所以点O到平面ACD的距离就是三棱锥O―ACD底面ACD上的高h.

与解法1同理容易求出OF=，AO = ，

所以V_A―COD =

因为V_O―ACD = V_A―COD，

所以= V_O―ACD = 解得

（Ⅲ）

         

设△ABD中，AB边的中线交BE于H，连结CH，则由ABCD为正四面体知CH⊥面ABD.

设HD的中点为K，则FK∥CH。

所以FK⊥面ABD.

在面ABD内，过点K作KN∥AD，KN交BE于M，交AB于N，

因为BE⊥AD，所以NM⊥BE.

连结FM，所以FM⊥BE.所以∠NMF是所求二面角的平面角.

因为FK = CH = ，MK = ED = AD = ，

所以

所以

所以所求二面角的大小为

（或者由正四面体的对称性，可转求二面角C―BF―E的大小）

方法二：如图，

以点A在面BCD的射影O为坐标原点，有向直线OA为z轴，有向直线BF为y轴，x轴为过点O与DC平行的有向直线.

因为正四面体ABCD的棱长为1，所以可以求出各点的坐标依次为：

O（0,0,0），A（0,0,），B（0,,0）

C（），D（），

E（），F（）

（Ⅰ）因为

又，

所以所以EF与BC所成角的大小是60°.

（Ⅱ）因为，

设平面ACD的一个法向量为，

由

因为，

所以点O到平面ACD的距离等于

（Ⅲ）因为，

设平面ABD的一个法向量为，

由，可得一个法向量

同理可以求出平面BEF的一个法向量为

因为

所以

所以二面角A―BE―F的大小为