Question

（2011•许昌一模）等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1且a₃，a₆，a₁₀+2成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的前20项和S₂₀；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=b_n+2^an，求证b_n•b_n+2＜b

2 n+1

．

Answer 1

分析：（I）根据题意，可得等差数列{a_n}的公差d＞0，由a₃，a₆，a₁₀+2成等比，利用等比中项定义列式得到关于d的方程，解之得d=1，即可求出数列{a_n}的前20项和S₂₀；
（II）由（I）的结论，得b_n+1=b_n+2^an=b_n+2ⁿ，采用累加的方法求出b_n=2ⁿ-1．不等式的左右两边作差，并化简得
b_n•b_n+2-b

2 n+1

=-2ⁿ＜0，由此即可得到原不等式恒成立．

解答：解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，
∵{a_n}的各项均为正数，∴d＞0，
又∵a₃，a₆，a₁₀+2成等比数列
∴a₆²=a₃（a₁₀+2），即（1+5d）²=（1+2d）（3+9d），
整理得7d²-5d-2=0，解之得d=1（舍去-

2

7

）
因此，数列{a_n}的前20项和S₂₀=20a₁+

20×19

2

d=20+190=210；
（II）由（I）得a_n=1+（n-1）×1=n，可得b_n+1=b_n+2^an=b_n+2ⁿ，
∴b_n+1-b_n=2ⁿ．
因此，b₂-b₁=2，b₃-b₂=2²，b₄-b₃=2³，…，b_n-b_n-1=2^n-1，
将此n-1个式子相加，得b_n-b₁=2+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ-2
∴b_n=b₁+2ⁿ-2=2ⁿ-1，（n≥2）
当n=1时，b₁=1=2¹-1也成立，故对任意的n∈N₊，均有b_n=2ⁿ-1．
∴b_n•b_n+2-b

2 n+1

=（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺²-1）-（2ⁿ⁺¹-1）²
=2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1-（2²ⁿ⁺²-2•2ⁿ⁺¹+1）
=-2ⁿ⁺²-2ⁿ+2ⁿ⁺²=-2ⁿ＜0
由此可得不等式b_n•b_n+2＜b

2 n+1

对任意的n∈N₊恒成立．

点评：本题给出首项为1的等差数列满足的关系式，求它的前20项之和并依此证明不等式恒成立．着重考查了等差等比数列的通项公式、求和公式和作差比较法证明不等式恒成立等知识，属于中档题．