Question

设双曲线C₁:=1(a>0,b>0)的离心率为e,右准线为l,右焦点为F,l与C₁的两条渐近线分别交于P、Q两点,△PQF为等边三角形,且C₁过点(1,0).又设以F为左焦点,l为左准线的椭圆为C₂.

(1)求C₁的方程;

(2)求离心率为的椭圆C₂的方程;

(3)设C₂的短轴端点为B,求BF中点的轨迹方程.

Answer 1

(1) -=1.

(2) (x-)²+=1.

(3)4y²-3x+6=0,这就是所求BF中点M的轨迹方程.

解析:

(1)∵C₁过点(1,0)且双曲线方程为=1(a>0,b>0),

∴a=1双曲线方程为x²-=1,右准线l:x=交两条渐近线于点P、Q.可知P、Q关于x轴对称.

如下图所示,且P(,),Q(,-),而△PQF为正三角形,

∴|PQ|·=|NF|,

即·=c-b=c²-1,

即c²=b+1.                                                              ①

又c²=1+b²,                                                                 ②

由①②得b=,c=2.

故C₁:-=1.

(2)由(1)知椭圆离心率e₂===.

双曲线的左焦点F(2,0),左准线l:x=.

根据椭圆的第二定义得

C₂:=.

两边平方,化简得(x-)²+=1.

(3)设BF中点M(x,y),由F(2,0),

∴B(2x-2,2y).

由椭圆的第二定义=e₂,即=e₂,

而e₂==.

两式消去e₂,化简得

4y²-3x+6=0,这就是所求BF中点M的轨迹方程.