Question

P是椭圆上一定点，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，若∠PF₁F₂=60°，∠PF₂F₁=30°，则椭圆的离心率为

3

-1

．

Answer 1

分析：首先根据题意得出三角形PF₁F₂是含有30°的直角三角形，据此计算出三角形三条边都用焦距F₁F₂表示，再用椭圆的第一定义结合离心率的公式，可以得出此椭圆的离心率．

解答：解：在△PF₁F₂中，∠PF₁F₂=60°，∠PF₂F₁=30°
∴∠F₁PF₂=90°，即△PF₁F₂是直角三角形
在Rt△PF₁F₂中，F₁F₂=2c（椭圆的焦距），∠PF₂F₁=30°
∴PF₂=c，PF₁=

3

c
根据椭圆的定义，得2a=PF₂+PF₁=（1+

3

）c
∴椭圆的离心率为e=

c

a

=

2

1+ 3

=

3

-1
故答案为：

3

-1

点评：本题考查了椭圆的离心率和简单的直角三角形的解法，属于容易题．准确运用椭圆的第一定义和椭圆的简单性质，是解决本题的关键．