Question

21.如图，P－ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF－ABC与棱锥P－ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

(1)证明：P－ABC为正四面体；

(2)若PD=PA，求二面角D－BC－A的大小；(结果用反三角函数值表示)

(3)设棱台DEF－ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的平行六面体，使得它与棱台DEF－ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.

Answer 1

21. [证明] (1)∵棱锥P－ABC与棱台DEF－ABC的棱长和相等，

∴DE+EF+FD=PD+PE+PF.

又∵截面DEF∥底面ABC，

∴DE=EF=FD=PD=PE=PF，∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°,

∴P－ABC为正四面体.

[解](2)取BC的中点M，连接PM、DM、AM.

∵BC⊥PM，BC⊥AM，∴BC⊥平面PAM，BC⊥DM，

则∠DMA为二面角D－BC－A的平面角.

由(1)知，P－ABC的各棱长均为1，

∴PM=AM=.由D是PA的中点，得sinDMA==,

∴∠DMA=arcsin.

(3)存在满足条件的直平行六面体.

棱台DEF－ABC的棱长和为定值6，体积为V.

设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边夹角为α，则该六面体棱长和为12×=6,体积为sinα=V.

∵正四面体P－ABC的体积是，∴0＜V＜,0＜8V＜1.

可知α=arcsin(8V).

故构造棱长均为，底面相邻两边夹角为arcsin(8V)的直平行六面体，即满足要求.