Question

已知圆C的方程为x²+y²+2x-7=0，圆心C关于原点对称的点为A，P是圆上任一点，线段AP的垂直平分线l交PC于点Q．
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹L的方程；
（2）过点B（1，）能否作出直线l₂，使l₂与轨迹L交于M、N两点，且点B是线段MN的中点，若这样的直线l₂存在，请求出它的方程和M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由点Q是线段AP的垂直平分线l与CP的交点，可得|QP|=QA|．又，可得．利用椭圆的定义可知点Q的轨迹L为椭圆；
（2）假设直线l₂存在，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），分别代入，利用“点差法”、中点坐标公式及斜率公式即可得出直线l₂的方程；与椭圆方程联立即可解得交点坐标．
解答：解：（1）如图，由已知圆C的方程x²+y²+2x-7=0，化为（x+1）²+y²=8，可得圆心C（-1，0），半径，点A（1，0）．
∵点Q是线段AP的垂直平分线l与CP的交点，∴|QP|=QA|．
又∵，∴．
∴点Q的轨迹是以O为中心，C，A为焦点的椭圆，
∵，∴，
∴点Q的轨迹L的方程为．
（2）假设直线l₂存在，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），分别代入得，
两式相减得，即．
由题意，得x₁+x₂=2，y₁+y₂=1，
∴，即k_MN=-1．
∴直线l₂的方程为．
由得6x²-12x+5=0．
∵点B在椭圆L内，
∴直线l₂的方程为，它与轨迹L存在两个交点，
解方程6x²-12x+5=0得．
当时，；当时，．
所以，两交点坐标分别为和．
点评：本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到一元二次方程等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．