Question

若对定义在R上的可导函数f（x），恒有（4-x）f（2x）+2xf′（2x）＞0，（其中f′（2x）表示函数f（x）的导函数f′（x）在2x的值），则f（x）（　　）

A、恒大于等于0

B、恒小于0

C、恒大于0

D、和0的大小关系不确定

Answer 1

分析：根据条件构造函数g（x）=

x4f(2x)

ex

，利用导数研究函数g（x）的单调性和极值，进而可以判断函数f（x）的取值情况．

解答：解：函数g（x）=

x4f(2x)

ex

，
则g′(x)=

[x4f(2x)]′ex-x4f(2x)?[ex]′

[ex]2

=

4x3f(2x)+2x4f′(2x)-x4f(2x)

ex

=

(4x3-x4)f(2x)+2x4f′(2x)

ex

=

x3[(4-x)f(2x)+2f′(2x)]

ex

，
∵（4-x）f（2x）+2xf′（2x）＞0恒成立，
∴当x＞0时，g'（x）＞0，此时函数g（x）单调递增，
当x＜0时，g'（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，
∴当x=0时，g（x）取得极小值，同时也是最小值g（0）=0，
∴g（x）=

x4f(2x)

ex

≥g（0），
即g（x）=

x4f(2x)

ex

≥0，当x≠0时，g（x）＞0，
∴当x≠0时，f（x）＞0，
∵（4-x）f（2x）+2xf′（2x）＞0恒成立，
∴当x=0时，4f（0）+0＞0恒成立，
∴f（0）＞0，
综上无论x取何值，恒有f（x）＞0，
故选C．

点评：本题主要考查函数值判断，利用条件构造函数g（x）=

x4f(2x)

ex

是解决本题的关键，利用导数研究函数的单调性和极值，考查学生的观察能力，综合性较强，难度较大．