Question

椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁、F₂，短轴两端点B₁、B₂，已知F₁、F₂、B₁、B₂四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为5．
（1）求此时椭圆C的方程；
（2）设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0，）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由F₁、F₂、B₁、B₂四点共圆，得出b=c，进而得到a²=b²+c²=2b²，再设椭圆的方程（含参数b），设H（x，y）为椭圆上一点，化简点（0，3）到椭圆上的点的距离，利用其最大值，分类讨论求出参数b的值，即得椭圆的方程．
（2）设直线L的方程为y=kx+m，代入．由直线l与椭圆相交于不同的两点可得△＞0即m²＜32k²+16，要使A、B两点关于过点P、Q的直线对称，必须，利用方程的根与系数的关系代入得，从而可求k得范围
解答：解：（1）∵F₁、F₂、B₁、B₂四点共圆，
∴b=c，
∴a²=b²+c²=2b²，
设椭圆的方程为，N（0，3）
设H（x，y）为椭圆上一点，则|HN|²=x²+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18，（-b≤y≤b），
①若0＜b＜3，|HN|²的最大值b²+6b+9=50得 （舍去），
②若b≥3，|HN|²的最大值2b²+18=50得b²=16，
∴所求的椭圆的方程为：．
（2）设直线L的方程为y=kx+m，代入得（1+2k²）x²+4kmx+（2m²-32）=0．
由直线l与椭圆相交于不同的两点知△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-32）＞0，
m²＜32k²+16．②
要使A、B两点关于过点P、Q的直线对称，必须
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），则，
∵
解得．③
由②、③得
∴，
∵k²＞0，
∴
∴或0
故当或0时，A、B两点关于过点P、Q的直线对称．
点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，点关于直线的对称得性质的应用．椭圆的性质及其应用、函数最值的求法等，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．