Question

（2013•深圳一模）已知椭圆C 的中心为原点O，焦点在x 轴上，离心率为

3

2

，且点(1，

3

2

)在该椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，椭圆C 的长轴为AB，设 P 是椭圆上异于 A、B 的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，点Q 满足

PQ

=

HP

，直线AQ与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点M，

BM

=4

BN

．求证：∠OQN为锐角．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率e=

c

a

=

3

2

，及点(1，

3

2

)在该椭圆上满足椭圆的方程与a²=b²+c²即可求出；
（2）设P（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），由A（-2，0），PQ=HP，得到Q（x₀，2y₀），进而得到直线AQ的方程为y=

2y0

x0+2

(x+2)．令x=4即可得到点M的坐标；再根据向量共线

BM

=4

BN

即可得到点N的坐标，只要证明

QO

•

QN

＞0且三点O，Q，N不共线即可得到∠OQN为锐角．

解答：解：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，
由题意可得 e=

c

a

=

3

2

，
又a²=b²+c²，∴4b²=a²．
∵椭圆C经过(1，

3

2

)，代入椭圆方程有   

1

4b2

+

3 4

b2

=1，
解得b²=1．∴a²=4，
故椭圆C的方程为  

x2

4

+y2=1．
（2）设P（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），
∵A（-2，0），
∵PQ=HP，∴Q（x₀，2y₀），
∴直线AQ的方程为y=

2y0

x0+2

(x+2)．   
令x=2，得M(2，

8y0

x0+2

)．
∵B（2，0），

BM

=4

BN

，
∴N(2，

y0

x0+2

)．
∴

QO

=(-x0，-2y0)，

QN

=(2-x0，

-2y0(1+x0)

x0+2

)．
∴

QO

•

QN

=-x0(2-x0)+(-2y0)•

-2y0(1+x0)

x0+2

=x0(x0-2)+

4y02(1+x0)

x0+2

∵

x02

4

+y02=1，
∴4y02=4-

x

2 0

∴

QO

•

QN

=2-x0．
∵-2＜x₀＜2，
∴

QO

•

QN

=2-x0＞0．
又O、Q、N不在同一条直线，
∴∠OQN为锐角．

点评：本题主要考查椭圆的方程与性质、向量相等于共线及夹角等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力．