Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中：①AD₁与A₁C₁所成的角为60°；②AB₁与平面A₁B₁CD所成的角为30°；③A₁C与平面A₁B₁CD所成的角为90°； ④二面角B₁-AC-D₁的大小是60°；以上结论中正确的是

①、②、③

．

Answer 1

分析：①连接A1B，由题意可得AD₁与A₁C₁所成的角与BC₁与A₁C₁所成的角相等，再利用解三角形的有关知识求出答案即可．
②取AD₁的中点为好，连接B₁H．由正方体的结构特征可得：AD₁⊥平面A₁B₁CD于点H，可得∠AB₁H为直线AB₁与平面A₁B₁CD所成的角，再放入三角形中求出答案即可．
③因为A₁C?平面A₁B₁CD，所以A₁C与平面A₁B₁CD所成的角为0°．
④取AC的中点为G，可得D₁G⊥AC并且B₁G⊥AC，所以∠B₁GD₁是二面角B₁-AC-D₁的平面角，再根据三角形的性质可得④错误．

解答：解：①连接A1B，由题意可得：AD₁∥BC₁，所以AD₁与A₁C₁所成的角与BC₁与A₁C₁所成的角相等，因为在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，A1B=BC₁=A₁C₁，所以∠BC₁A₁=60°，所以AD₁与A₁C₁所成的角为60°，所以①正确．
②取AD₁的中点为好，连接B₁H．由正方体的结构特征可得：AD₁⊥平面A₁B₁CD于点H，∴直线B₁H是直线AB₁在平面A₁B₁CD上的射影．∴∠AB₁H为直线AB₁与平面A₁B₁CD所成的角．又∵AB₁=2AH，∴sin∠AB1H=

AH

AB1

=

1

2

∴∠AB₁H=30°．所以②正确．
③因为A₁C?平面A₁B₁CD，所以A₁C与平面A₁B₁CD所成的角为0°，所以③错误．
④取AC的中点为G，在△D₁AC中，D₁A=D₁C，所以D₁G⊥AC；同理可得B₁G⊥AC，所以∠B₁GD₁是二面角B₁-AC-D₁的平面角，连接B₁D₁，在△B₁GD₁中，B₁G=D₁G≠B₁D₁，所以二面角B₁-AC-D₁的大小不是60°，所以④错误．
故答案为：①②．

点评：本题主要考查空间角的求解，求线线角、线面角与面面角的关键是找到角，再证明此角为所求角，然后把空间角转化为平面角利用解三角形的有关知识进行求解，属于中档题型．