Question

已知平面区域的外接圆与轴交于点，椭圆以线段

为长轴，离心率．

(1)求圆及椭圆的方程；

(2)设椭圆的右焦点为，点为圆上异于的动点，过原点作直线的垂线交直线于点，判断直线与圆的位置关系，并给出证明。

 

 

 

Answer 1

【答案】

，

当时，，故直线PQ始终与圆C相切

【解析】解:（1）由题意可知，平面区域是以及点为顶点的三角形，

∵，∴为直角三角形，∴外接圆以原点为圆心，

线段为直径，故其方程为．                    ……4分

．又，∴，可得．

∴所求椭圆的方程是．                      ……………6分

 

 

 

（2）直线与圆相切．设，则．

当时，，，∴； ……8分

当时，，∴.                  ……9分

∴直线的方程为．因此，点的坐标为．∵，

∴当时，，；

当时候，，∴，∴．         ………12分[来

综上所述，当时，，故直线PQ始终与圆C相切． ………13分