Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．

(Ⅰ)求证：AM∥平面BDE；

(Ⅱ)求二面角A－DF－B的大小．

(Ⅲ)试问：在线段AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为60°？

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)记AC与BD的交点为O，连接OE　　1分 　　∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形， 　　∴四边形AOEM是平行四边形　　2分 　　∴AM∥OE 　　∵平面BDE，平面BDE　　4分 　　∴AM∥平面BDE． 　　 (Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS， 　　∵AB⊥AF，AB⊥AD， 　　∴AB⊥平面ADF　　6分 　　∴AS是BS在平面ADF上的射影， 　　由三垂线定理得BS⊥DF． 　　∴∠BSA是二面角A－DF－B的平面角． 　　在RtΔASB中， 　　∴ 　　∴二面角A－DF－B的大小为60o　　8分 　　(Ⅲ)设CP＝t(0≤t≤2)，作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD， 　　∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，， 　　∴PQ⊥平面ABF，QF平面ABF， 　　∴PQ⊥QF　　9分 　　在RtΔPQF中，∠FPQ＝60o，PF＝2PQ． 　　∵ΔPAQ为等腰直角三角形， 　　∴　　10分 　　又∵ΔPAF为直角三角形， 　　∴， 　　∴ 　　所以t＝1或t＝3(舍去) 　　即点P是AC的中点　　12分 　　方法二(仿上给分) 　　(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系． 　　设，连接NE， 　　则点N、E的坐标分别是(、(0，0，1)， 　　∴NE＝(， 　　又点A、M的坐标分别是 　　()、( 　　∴AM＝( 　　∴NE＝AM且NE与AM不共线， 　　∴NE∥AM． 　　又∵平面BDE，平面BDE， 　　∴AM∥平面BDF． 　　(Ⅱ)∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF 　　∴AB⊥平面ADF． 　　∴为平面DAF的法向量． 　　∵NE·DB＝(·＝0， 　　∴NE·NF＝(·＝0得 　　NE⊥DB，NE⊥NF， 　　∴NE为平面BDF的法向量． 　　∴cos＜AB，NE＞＝ 　　∴AB与NE的夹角是60o． 　　即所求二面角A－DF－B的大小是60o． 　　(Ⅲ)设P(t，t，0)(0≤t≤)得 　　 　　∴DA＝(0，，0，)， 　　又∵PF和AD所成的角是60o． 　　∴ 　　解得或(舍去)， 　　即点P是AC的中点．