Question

双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线.

   （1）求双曲线C的方程；

   （2）过点P（0，4）的直线l交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当时，求Q点的坐标.

Answer 1

解：（1）设双曲线方程为  

由椭圆，求得两焦点为（－2，0），（2，0）

∴对于双曲线C：c=2，又为双曲线C的一条渐近线，

∴  解得   ∴双曲线C的方程为  

（2）解法一：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零，

设l的方程：

则

∵

∴

∴

∵A(x₁, y₁)在双曲线C上， ∴

∴

∴

同理有：

若16－k²=0，则直线l过顶点，不合题意。

∴16－k²≠0， ∴是二次方程 的两根

∴  ∴k²=4，此时△>0， ∴k=±2

∴所求Q的坐标为（±2，0）

解法二：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零。

设l的方程：

∵  ∴Q分的比为。由定比分点坐标式得：

  下同解法一

解法三：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零。

设l的方程：

∵  ∴

∴

∴  即

将

∵，否则l与渐近线平行 

∴

∴  ∴

解法四：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零，

设l的方程：

∵  ∴

∴

同理 

即

又由     消去y，得

当3－k²=0时，则直线l与双曲线的渐近线平行，不合题意，

由韦达定理有：

代入（*）式得k²=4，k=±2

∴所求Q的点的坐标为（±2，0）