Question

已知函数f(x)=

m-x2

x

（m∈R）．
（1）若y=log

1

3

[8-f(x)]在[1，+∞）上是单调减函数，求实数m的取值范围；
（2）设g（x）=f（x）+lnx，当m≥-2时，求g（x）在[

1

2

，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意函数f(x)=

m-x2

x

（m∈R），y=log

1

3

[8-f(x)]在[1，+∞）上是单调减函数，由复合函数的单调性可判断出数f(x)=

m-x2

x

（m∈R）在[1，+∞）上是单调减函数，由此可得f′(x)=

-x2-m

x2

≤0恒成立，即

x2+m

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立，从中解出m的取值范围即可
（2）可先解出g(x)=

m-x2

x

+lnx，g′(x)=-

x2-x+m

x2

=-

(x- 1 2 )2+m- 1 4

x2

，再根据m的取值的不同范围讨论函数在[

1

2

，2]上的最大值

解答：解：（1）因为函数y=log

1

3

[8-f(x)]在[1，+∞）上是单调减函数，则根据复合函数的单调性可得f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，其导数在[1，+∞）上恒小于等于0，且满足f（x）＜8在[1，+∞）上恒成立，所以f′(x)=

-x2-m

x2

≤0恒成立，即

x2+m

x2

≥0在[1，+∞）上恒成立，解得m≥-1…（3分）

要使f（x）＜8在[1，+∞）上恒成立，只需要[f（x）]_max＜8，又f（x）在[1，+∞）上单调减函数，
∴f（1）＜8，解得m＜9，
∴-1≤m＜9…（6分）
（2）g(x)=

m-x2

x

+lnx，g′(x)=-

x2-x+m

x2

=-

(x- 1 2 )2+m- 1 4

x2

…（7分）

当m-

1

4

≥0，即m≥

1

4

时，g'（x）≤0，
∴g（x）在[

1

2

，2]上单调递减，
∴g(x)max=g(

1

2

)=2m-

1

2

-ln2…（9分）
当-2≤m＜

1

4

时，由g'（x）=0得x1=

1- 1-4m

2

，x2=

1+ 1-4m

2

，
显然-1≤x1＜

1

2

，

1

2

＜x2≤2，
∴x1∉[

1

2

，2]，x2∈[

1

2

，2]，又g′(x)=-

(x-x1)(x-x2)

x2

当

1

2

≤x≤x2时，g'（x）≥0，g（x）单调递增；
当x₂＜x≤2时，g'（x）＜0，g（x）单调递减                        …（12分）
∴g(x)max=g(x2)=

2m

1+ 1-4m

-

1+ 1-4m

2

+ln

1+ 1-4m

2

=-

1-4m

+ln

1+ 1-4m

2

…（14分）

综上所述，（1）当m≥

1

4

时，g(x)max=2m-

1

2

-ln2；
（2）当-2≤m＜

1

4

时，g(x)max=-

1-4m

+ln

1+ 1-4m

2

…（16分）

点评：本题考查了导数研究函数的单调性，由函数的单调性求最值解决恒成立的问题及分类讨论的思想，本题综合性强，计算量大极易出错，解题的关键是理解题意，将问题正确转化