Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为AB的中点，现将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCDE，F为线段A′D的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面A′BC；
（Ⅱ）求直线A′B与平面A′DE所成角的正切值．

Answer 1

分析：（I）取A′C的中点M，连接MF，MB，证明四边形EBMF为平行四边形，可得EF∥MB，利用线面平行的判定定理可得EF∥平面A′BC； 
（II）过B作BO⊥DE，O为垂足，连接A′O，证明∠BA′O就是直线A′B与平面A′DE所成的角．过A′作A′S⊥DE，S为垂足，从而可求直线A′B与平面A′DE所成的角的正切值．

解答：（I）证明：取A′C的中点M，连接MF，MB，则FM∥DC，且FM=

1

2

DC，
又EB∥DC，且EB=

1

2

DC，从而有FM∥EB，FM=EB，
所以四边形EBMF为平行四边形，故有EF∥MB，…（4分）
又EF?平面A′BC，MB?平面A′BC，
所以EF∥平面A′BC；            …（6分）
（II）解：过B作BO⊥DE，O为垂足，连接A′O，
因为平面A′DE⊥平面BCDE，且平面A′DE∩平面BCDE=DE，所以BO⊥平面A′DE，
所以∠BA′O就是直线A′B与平面A′DE所成的角．…（10分）
过A′作A′S⊥DE，S为垂足，
因为平面A′DE⊥平面BCDE，且平面A′DE∩平面BCDE=DE，所以A′S⊥平面BCDE，
在直角△A′SO中，A′S=

2

，SO=2

2

，
所以A′O=

10

． …（12分）
又B0=

2

，
所以tan∠BA′O=

2

10

=

5

5

，
故直线A′B与平面A′DE所成的角的正切值为

5

5

．      …（14分）

点评：本题考查线面平行，考查线面角，掌握线面平行的判定，正确作出线面角是关键．