Question

已知F₁（-1，0）、F₂（1，0）为椭圆的焦点，且直线x+y-

7

=0与椭圆相切．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）过F₁的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF₂的面积S的最大值，并求此时直线的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意可设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，由直线与椭圆相切知，直线方程与椭圆方程构成的方程组只有一解，消y后由△=0即可解得a²值，注意a的范围；
（Ⅱ）设过F₁的直线：x=my-1，代入

x2

4

+

y2

3

=1消去x并整理得（3m²+4）y²-6my-9=0，S△ABF2=

1

2

×2c|y₁-y₂|=|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

，由韦达定理即可用m表示出S△ABF2，换元后根据函数单调性即可求得面积的最大值及此时m值；

解答：解：（Ⅰ）依题意可设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

a2-1

=1，
由x+y-

7

=0得y=

7

-x，代入

x2

a2

+

y2

a2-1

=1消去y并整理得，（(2a2-1)x2-2

7

a2x+8a2-a4=0，
由△=28a⁴-4（2a²-1）（8a²-a⁴）=8a²（a⁴-5a²+4）=0，解得a²=1或a²=4，
因为a²＞1，所以a²=4，
所以椭圆方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设过F₁的直线：x=my-1，代入

x2

4

+

y2

3

=1消去x并整理得（3m²+4）y²-6my-9=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2=

6m

3m2+4

，y1y2=

-9

3m2+4

，
所以|y1-y2|=

36m2+36(3m2+4)

3m2+4

=

12 m2+1

3m2+4

，
S△ABF2=

1

2

×2c|y₁-y₂|=|y₁-y₂|=

12 m2+1

3m2+4

=

12

3 m2+1 + 1 m2+1

，
令t=

m2+1

，则t≥1，S△ABF2=

12

3t+ 1 t

，
又(3t+

1

t

)′=3-

1

t2

＞0，所以3t+

1

t

递增，(3t+

1

t

)min=3×1+1=4，当t=1即m=0时取等号，
所以S△ABF2≤

12

4

=3，
当m=0时，面积S最大为3，此时直线方程为x=-1．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，考查函数思想在解决问题中的应用，属中档题．